ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Elfeck</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Elfeck</span></h1>

</header>

</div>

<p>Ein <b>Elfeck</b> (auch <b>Hendekagon</b>; von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a></span> <span lang="grc-Grek" class="Grek" style="font-style:normal">ἕνδεκα</span> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Latn{font-family:"Akzidenz Grotesk","Arial","Avant Garde Gothic","Calibri","Futura","Geneva","Gill Sans","Helvetica","Lucida Grande","Lucida Sans Unicode","Lucida Grande","Stone Sans","Tahoma","Trebuchet","Univers","Verdana"}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">héndeka</span>, deutsch <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚elf‘</span> und <span lang="grc-Grek" class="Grek">γωνία</span> <span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">gōnía</span>, deutsch <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚Winkel, Ecke‘</span>)<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> ist ein <a href="Polygon" title="Polygon">Polygon</a> mit elf Seiten und elf Ecken.

</p><p>Im Folgenden wird zuerst das ebene, <a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon"><i>regelmäßige</i></a> Elfeck betrachtet. Es ist <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvex</a>, alle Seiten sind gleich lang und die <a href="Eckpunkt" class="mw-redirect" title="Eckpunkt">Eckpunkte</a> liegen auf einem gemeinsamen <a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a>. Regelmäßige <a href="Polygon#Weitere_Typen" title="Polygon"><i>überschlagene</i></a> Elfecke sind daran anschließend dargestellt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeines,_ebenes,_nicht_überschlagenes_Elfeck"><span id="Allgemeines.2C_ebenes.2C_nicht_.C3.BCberschlagenes_Elfeck"></span>Allgemeines, ebenes, nicht überschlagenes Elfeck</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3></div>

<ul><li>Die <a href="Winkelsumme" title="Winkelsumme">Summe der Innenwinkel</a> beträgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (11-2)\cdot 180^{\circ }=1620^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (11-2)\cdot 180^{\circ }=1620^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7989a44f9c319fcc23d9f90480ee11f709675297.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (11-2)\cdot 180^{\circ }=1620^{\circ }}" loading="lazy"></span></li>

<li>Die Anzahl der Diagonalen ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {11\cdot (11-3)}{2}}=44}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {11\cdot (11-3)}{2}}=44}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be53141a2041f8e3f20387e9d83b06b823206254.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.385ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {11\cdot (11-3)}{2}}=44}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Regelmäßiges_Elfeck"><span id="Regelm.C3.A4.C3.9Figes_Elfeck"></span>Regelmäßiges Elfeck</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften_2">Eigenschaften</h3></div>

<p>Das regelmäßige Elfeck ist <b>nicht</b> <a href="Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">mit Zirkel und Lineal konstruierbar</a>, denn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 11}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 11}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da6aabe7c6af49fe640b2d401cb2dbe909bb7475.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 11}" loading="lazy"></span> ist eine Primzahl, die keine <a href="Fermat-Zahl" title="Fermat-Zahl">Fermatsche Primzahl</a> ist, siehe <a href="Konstruierbares_Polygon" title="Konstruierbares Polygon">konstruierbares Polygon</a>. Es lässt sich auch nicht unter Zuhilfenahme eines Hilfsmittels zur <a href="Dreiteilung_des_Winkels" title="Dreiteilung des Winkels">Dreiteilung eines Winkels</a> konstruieren und es ist das regelmäßige Polygon mit der kleinsten Eckenzahl mit dieser Eigenschaft.

</p><p>Für ein regelmäßiges Elfeck mit dem Umkreisradius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> und dem <a href="Kreiswinkel" title="Kreiswinkel">Zentriwinkels</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ={\tfrac {180^{\circ }}{11}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ={\tfrac {180^{\circ }}{11}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99f494a73f643ae1790a3cf3ff48a497c11da8a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.634ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \mu ={\tfrac {180^{\circ }}{11}}}" loading="lazy"></span> gilt:

</p>

<dl><dt>Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span></dt>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=2\,r\cdot \sin \mu \approx 0{,}563\,465\,113\,682\,859\,395\,422\,835\,830\,693\,23}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6bc219c6207bde74826e4ff2b6f9b9845d8da11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.227ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a=2\,r\cdot \sin \mu \approx 0{,}563\,465\,113\,682\,859\,395\,422\,835\,830\,693\,23}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<dl><dt><a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreisradius</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span></dt>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=r\cdot \cos \mu \approx 0{,}959\,492\,973\,614\,497\,389\,890\,368\,057\,066\,33}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92669f697755cf8fe4f72bc10058664a5048565d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.467ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R=r\cdot \cos \mu \approx 0{,}959\,492\,973\,614\,497\,389\,890\,368\,057\,066\,33}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<dl><dt><a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span></dt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=11\,{\frac {a\,R}{2}}=11\,r^{2}\,\sin \varphi \cdot \cos \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b088187ede363aeff7450f566b1528b2752ae90a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.918ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A=11\,{\frac {a\,R}{2}}=11\,r^{2}\,\sin \varphi \cdot \cos \varphi }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschichte">Geschichte</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Flächenberechnung_nach_Heron"><span id="Fl.C3.A4chenberechnung_nach_Heron"></span>Flächenberechnung nach Heron</h4></div>

<p><a href="Heron_von_Alexandria" title="Heron von Alexandria">Heron von Alexandria</a> konstruierte in seinem Buch <i>Metrika</i> im 1. Jhdt. v. Chr. die Flächen regelmäßiger Polygone mit 3, 5, 6, 8, 10 und 12 Seiten und gab Näherungslösungen für das Siebeneck, das Neuneck und das Elfeck an. Für das Neuneck und das Elfeck berief er sich dabei auf Winkelnäherungen aus dem Werk <i>Über die Sehnen</i> (Περὶ τῶν ἐν κὐκλῳ εὐθειῶν, wohl die <a href="Chordentafel" class="mw-redirect" title="Chordentafel">Chordentafel</a> des <a href="Hipparchos_von_Nic%C3%A4a" class="mw-redirect" title="Hipparchos von Nicäa">Hipparchos von Nicäa</a>).<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die Näherungsformel für die Fläche eines regelmäßigen Elfecks lautet demnach

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\approx {\frac {66}{7}}a^{2}=9{,}{\overline {428571}}\cdot a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7caa2f2b924a49dd1626ec64fc2b4355c5d93d10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:26.247ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A\approx {\frac {66}{7}}a^{2}=9{,}{\overline {428571}}\cdot a^{2}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> die Seitenlänge des Elfecks ist.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometrische_Konstruktionen">Geometrische Konstruktionen</h3></div>

<p>Das regelmäßige Elfeck ist, wie bereits im Abschnitt <i>Eigenschaften</i> näher beschrieben, unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel <i>Zirkel und Lineal</i> nicht darstellbar. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel, das die Teilung des 90-Grad-Winkels in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> gleich große Winkel erlaubt, z. B. die <a href="Archimedische_Spirale#Quadratur_des_Kreises_und_Winkelteilung" title="Archimedische Spirale">archimedische Spirale</a> oder die <a href="Quadratrix_des_Hippias" title="Quadratrix des Hippias">Quadratrix des Hippias</a>, ist eine exakte Lösung möglich. Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, es sind aber nur wenige in der einschlägigen Literatur zu finden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Quadratrix_des_Hippias_als_zusätzliches_Hilfsmittel"><span id="Quadratrix_des_Hippias_als_zus.C3.A4tzliches_Hilfsmittel"></span>Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel</h4></div>

<p>Nach dem Zeichnen des <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrates</a>, z. B. mit der Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"></span>, und des <a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreises</a> um den Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bc2435b217c1a0f46f8a517ffa225c6f9440e81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}}" loading="lazy"></span> erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten <a href="Quadratrix_des_Hippias" title="Quadratrix des Hippias">Quadratrix des Hippias</a>, mit der <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e1a1c9ce8793b86a9bdd383f2a08b9529fec4a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.33ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"></span>:<sup id="cite_ref-Henn_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Henn-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/917f7a11c09b96da0d2897c417f130f547f01d9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.161ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e139894a42556df36c2510f84ec0a6a21de803ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:32.434ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Danach wird die Strecke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CO}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CO}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc05e32e1ca2da6b581da641a763ff23665d5b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.655ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CO}}}" loading="lazy"></span> in elf gleich lange Abschnitte mithilfe der <a href="Strahlensatz#Teilung_einer_Strecke" title="Strahlensatz">Streckenteilung</a> geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

</p><p>Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{11}},}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{11}},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ed4e2447497f367105a764910fb3410e6e4a661.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.525ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{11}},}" loading="lazy"></span> aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle >0^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle >0^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ced6741f637eb7bd121c770fcf5fb85afb4760d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.67ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle >0^{\circ }}" loading="lazy"></span> bis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \leq 90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \leq 90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7ed861413cc7408007a6e0480aba48974771091.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.832ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \leq 90^{\circ }}" loading="lazy"></span> in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CO}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CO}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc05e32e1ca2da6b581da641a763ff23665d5b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.655ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CO}}}" loading="lazy"></span> kann nur ein Elftel des Winkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }}" loading="lazy"></span> erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> aus dem Umkreis mit seinen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 360^{\circ },}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 360^{\circ },}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a26909ff0d2e77d64805b42377e7ac14ee2c4dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.188ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 360^{\circ },}" loading="lazy"></span> das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1180823eb1065e5bf4261757a45384653400d3b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 4'}" loading="lazy"></span> der Strecke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CO}},}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CO}},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56811ddd6d35121fec2ec02377afaf986a664ad9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.301ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CO}},}" loading="lazy"></span> zur Konstruktion des Zentriwinkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}">

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4bef44ca4b24f41655d3232fcb7d6a4a9678ad7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.686ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}" loading="lazy"></span> ab <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1180823eb1065e5bf4261757a45384653400d3b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 4'}" loading="lazy"></span> bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span>. Nun zieht man eine <a href="Strahl_(Geometrie)" title="Strahl (Geometrie)">Halbgerade</a> ab dem <a href="Winkel" title="Winkel">Winkelscheitel</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span> bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ec73b8bc9abc3efb934f5a6ec2803713771f4bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{2}}" loading="lazy"></span>. Die Länge der Strecke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}">

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44b96c99952aaf9a007c7e173244e48280b12213.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.71ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}" loading="lazy"></span> ist die exakte Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> des regelmäßigen Elfecks.

</p><p>Nach dem neunmaligen Abtragen der Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das Elfeck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1}\ldots A_{11}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}\ldots A_{11}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02533ff28fef21dde90ac89f1ee7f3c33c3ef5f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.914ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}\ldots A_{11}}" loading="lazy"></span> fertiggestellt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bei_gegebener_Seitenlänge"><span id="Bei_gegebener_Seitenl.C3.A4nge"></span>Bei gegebener Seitenlänge</h4></div>

<p>Ist die <a href="Seitenl%C3%A4nge" title="Seitenlänge">Seitenlänge</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'}" loading="lazy"></span> eines Elfecks <i>mit vorgegebenem Umkreis</i> bereits – exakt mithilfe der Quadratrix oder näherungsweise – bestimmt (siehe nebenstehende Zeichnung), kann daraus mithilfe der sogenannten <a href="Zentrische_Streckung" title="Zentrische Streckung">zentrischen Streckung</a> ein Elfeck mit vorgegebener Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> konstruiert werden.

</p><p>Nur falls die vorgegebene Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> länger als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'}" loading="lazy"></span> ist, werden zuerst beide Winkelschenkel des Zentriwinkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> verlängert. Als Nächstes wird die Winkelhalbierenden <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle wh}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle wh}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbb27cdb1a061138a29d776bab91fa2f0e085dd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.003ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle wh}" loading="lazy"></span> des Winkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> eingezeichnet und anschließend darauf der Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> mit beliebiger Position bestimmt. Es folgt eine Parallele zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'={\overline {A_{1}'A_{2}'}}}">

<msup>

</msup>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'={\overline {A_{1}'A_{2}'}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f40082f15e3ca427647b1bd57ad370c4f9c72286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.723ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a'={\overline {A_{1}'A_{2}'}}}" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span>. Beim Ziehen des Halbkreises um <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> mit Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r={\frac {a}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/808d93b47f31d9ccdac78b5494d9dbbb2dbd1259.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.213ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a}{2}}}" loading="lazy"></span> ergeben sich die Schnittpunkte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span>. Die beiden Parallelen zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle wh}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle wh}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbb27cdb1a061138a29d776bab91fa2f0e085dd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.003ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle wh}" loading="lazy"></span> ab <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"></span> bzw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span>, bis zu den betreffenden Winkelschenkeln, liefern die beiden ersten Eckpunkte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bc2435b217c1a0f46f8a517ffa225c6f9440e81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ec73b8bc9abc3efb934f5a6ec2803713771f4bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{2}}" loading="lazy"></span> des gesuchten Elfecks. Abschließend wird der somit gefundene Umkreis mit dem Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{u}={\overline {OA_{1}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{u}={\overline {OA_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ceb7488ef1f7af8bdb2e34fe90531fa486abf467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.005ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle r_{u}={\overline {OA_{1}}}}" loading="lazy"></span> um <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"></span> gezogen, ab dem Eckpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ec73b8bc9abc3efb934f5a6ec2803713771f4bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{2}}" loading="lazy"></span> die Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> neunmal gegen den <a href="Uhrzeigersinn" class="mw-redirect" title="Uhrzeigersinn">Uhrzeigersinn</a> auf dem Umkreis abgetragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Näherungskonstruktion_nach_Dürer"><span id="N.C3.A4herungskonstruktion_nach_D.C3.BCrer"></span>Näherungskonstruktion nach Dürer</h4></div>

<p><a href="Albrecht_D%C3%BCrer" title="Albrecht Dürer">Albrecht Dürer</a> beschreibt in seinem Werk <i>Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen</i> (1525) die Konstruktion eines in einen Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Elfecks:<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<p>„So jch bald ein eylf eck in ein zirckel reyssen will<br> nym jch ein vierteyl von des zirckels diameter vnd erleng jn ein acht teyl auß jm selbs<br> vnd far mit diser leng herumb im zirckel das tryt beileuoftig ein<br> also das es sich Mechanice<br> aber nit demonstratiue findet“

</p>

</blockquote>

</div></div>

<p>Man nimmt also ein Viertel des Kreisdurchmessers, zerlegt es in acht gleiche Teile und verlängert es um einen Teil. Diese Strecke legt man dann elfmal auf dem Kreis an. Dürer weist explizit darauf hin, dass es sich dabei um eine näherungsweise („mechanische“) und nicht um eine exakte („demonstrative“) Konstruktion handelt. Die so erhaltene Näherung der Seitenlänge des Elfecks von

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\approx {\tfrac {9}{32}}\,d=0{,}28125\cdot d}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0645938024d74610b34d3de39c5de3911c633a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:22.026ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a\approx {\tfrac {9}{32}}\,d=0{,}28125\cdot d}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>liegt aber sehr nahe am exakten Wert von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=\sin({\tfrac {\pi }{11}})\,d=0{,}2817326\ldots \,\cdot d}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=\sin({\tfrac {\pi }{11}})\,d=0{,}2817326\ldots \,\cdot d}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7867c95648b8e380d9d056b9ba3dba64ed45645a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:32.514ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a=\sin({\tfrac {\pi }{11}})\,d=0{,}2817326\ldots \,\cdot d}" loading="lazy"></span>, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=2R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=2R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4442c5233d21329cf617e541e56701515620f020.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.241ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d=2R}" loading="lazy"></span> der Kreisdurchmesser ist. Der relative Fehler der Näherung beträgt dabei weniger als 0,2 %.

</p><p>Ein ergänzendes Beispiel zur Verdeutlichung des absoluten Fehlers:

</p>

<dl><dd>Bei einem Umkreisradius R = 10 m, wäre der Fehler der ersten Elfeckseite ca. 9,6 mm.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Näherungskonstruktion_nach_Drummond"><span id="N.C3.A4herungskonstruktion_nach_Drummond"></span>Näherungskonstruktion nach Drummond</h4></div>

<p>Die folgende Animation der Konstruktion – Elfeck im Kreis einbeschrieben<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> – ist eine Weiterführung der Basiskonstruktion nach T. Drummond aus dem Jahr 1800.

</p>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder{margin-top:.5em}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-kopf{clear:both;font-weight:bold}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-horizontal{float:left;padding:1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><div class="thumb tleft vl-mehrere-bilder" style="width:535px;"><div class="thumbinner"><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:354px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div><div class="thumbcaption">Elfeck im Kreis einbeschrieben, eine Weiterführung der Basiskonstruktion nach T. Drummond.<br>

Entspricht dem Kupferstich von Anton Ernst Burkhard von Birckenstein, <a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Endecagon-Drummond.gif">Animation siehe</a>.</div></div><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:167px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div><div class="thumbcaption">Elfeck, <a href="Kupferstich" title="Kupferstich">Kupferstich</a> um 1698 von Anton Ernst Burkhard von Birckenstein<br>

Quelle: <a href="Deutsche_Fotothek" title="Deutsche Fotothek">Deutsche Fotothek</a></div></div><div style="clear:both;"></div>

</div></div>

<p>Zunächst wird der Umkreis mit dem Radius <span style="text-decoration:overline">AB</span> gezeichnet und anschließend <span style="text-decoration:overline">AB</span> in C halbiert. Nun zieht man um A und C mit dem Radius <span style="text-decoration:overline">AC</span> jeweils ein Kreisbogen. Der Kreisbogen um A schneidet den Umkreis in I und die beiden Kreisbogen ergeben den Schnittpunkt D. Als Nächstes wird um I ein letzter Kreisbogen mit dem Radius <span style="text-decoration:overline">ID</span> gezogen. Er schneidet den Umkreis in O. Verbindet man abschließend O mit C, ist die Strecke <span style="text-decoration:overline">OC</span>, so wie Drummond anmerkt: "... die Seite eines Elfecks deren Länge für die Praxis ausreichend genau sein wird."

</p><p>Das Ergebnis in einem Einheitskreis mit R = 1 [LE]

</p>

<dl><dd>Konstruierte Seite des Elfecks <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0{,}563692...}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0{,}563692...}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69c8cb778d202f8f199ec9d1a8ad5558ec0fb0d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.053ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=0{,}563692...}" loading="lazy"></span>[LE]</dd>

<dd>Seite des Elfecks <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})=0{,}563465...}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})=0{,}563465...}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b131871a8471d4a102894f8e26ff6c0c70c443ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:34.576ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})=0{,}563465...}" loading="lazy"></span> [LE]</dd>

<dd>Der absolute Fehler der konstruierten Seite <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=2{,}27...E-4}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=2{,}27...E-4}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4127e858167b7e2ae9b2f003c88adb1a159c13f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:30.731ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=2{,}27...E-4}" loading="lazy"></span> [LE]</dd></dl>

<p>Ein Beispiel zur Verdeutlichung des absoluten Fehlers:

</p>

<dl><dd>Bei einem Umkreisradius R = 10 m, wäre der Fehler der ersten Elfeckseite ca. 2,3 mm.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Näherungskonstruktion_durch_Sinuswerte"><span id="N.C3.A4herungskonstruktion_durch_Sinuswerte"></span>Näherungskonstruktion durch Sinuswerte</h4></div>

<p>Eine weitere Näherung ergibt sich durch

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(72^{\circ })-\sin(72^{\circ }-30^{\circ })\approx \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c770387017abe6edbbcb32b16a144c2b702f1b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:37.045ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \sin(72^{\circ })-\sin(72^{\circ }-30^{\circ })\approx \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(72^{\circ })-\sin(42^{\circ })}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/831a94790d3e602ff3efead5d76b4d8b9d42060a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin(72^{\circ })-\sin(42^{\circ })}" loading="lazy"></span> weicht vom Wert für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64b3178c7db990d5a15fa59bbd15f2e22ec47a95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.799ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \sin({\tfrac {180^{\circ }}{11}})}" loading="lazy"></span> nur um 0,06863 % ab. Bei einem Radius von 2,586 m ist die Seite 1 mm zu lang.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Regelmäßige_überschlagene_Elfecke"><span id="Regelm.C3.A4.C3.9Fige_.C3.BCberschlagene_Elfecke"></span>Regelmäßige überschlagene Elfecke</h2></div>

<p>Ein regelmäßiges überschlagenes Elfeck ergibt sich, wenn beim Verbinden der elf Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten <a href="Sehne_(Geometrie)" title="Sehne (Geometrie)">Sehnen</a> gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen <a href="Stern_(Geometrie)" title="Stern (Geometrie)">Sterne</a> mit <a href="Schl%C3%A4fli-Symbol" title="Schläfli-Symbol">Schläfli-Symbolen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{n/k\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{n/k\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368efc6f67f6b13028235faffc6a5dac6aa0f59f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.093ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{n/k\right\}}" loading="lazy"></span>, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span>-te Punkt verbunden wird.

</p><p>In der folgenden Galerie sind die vier möglichen regelmäßigen Elfstrahlsterne, auch Hendekagramme genannt, dargestellt.

</p>

<li class="gallerycaption">Regelmäßige Elfstrahlsterne</li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{11/2\right\}{,}\ \left\{11/9\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4c20b0678008cf8559426bf4964975cc7d84c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{11/2\right\}{,}\ \left\{11/9\right\}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{11/3\right\}{,}\ \left\{11/8\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a310ab1d528eccc32176a80fd3ea046eb36b00f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{11/3\right\}{,}\ \left\{11/8\right\}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{11/4\right\}{,}\ \left\{11/7\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c0c788e0589a973f91b7f54b07a5c610cbfaf14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{11/4\right\}{,}\ \left\{11/7\right\}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{11/5\right\}{,}\ \left\{11/6\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bb88d33d76d69707b34f537cba320cacc668f4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{11/5\right\}{,}\ \left\{11/6\right\}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwendung">Verwendung</h2></div>

<ul><li>Die Vorder- und Rückseite des <a href="Susan-B.-Anthony-Dollar" title="Susan-B.-Anthony-Dollar">Susan-B.-Anthony-Dollars</a>, einer <a href="US-Dollar" title="US-Dollar">US-amerikanischen Ein-Dollar-Münze</a>, die von 1979 bis 1981 und 1999 geprägt wurde, zeigt die Figur eines Elfecks. Die 1987 eingeführten <a href="Kanadischer_Dollar" title="Kanadischer Dollar">kanadischen Ein-Dollar-Münzen</a> weisen die Form eines abgerundeten Elfecks auf.</li></ul>

<ul><li>Die 1993 eingeführte <a href="Tschechische_Krone#Münzen" title="Tschechische Krone">Tschechische Zwei-Kronen-Münze</a> hat die Form eines Elfecks mit abgerundeten Ecken. Die Vorderseite zeigt den <a href="B%C3%B6hmischer_L%C3%B6we_(Wappentier)" class="mw-redirect" title="Böhmischer Löwe (Wappentier)">Böhmischen Löwen</a> und die Rückseite einen <a href="M%C3%A4hrerreich" title="Mährerreich">Großmährischen</a> Knopfschmuck.</li></ul>

<ul><li>Auch verschiedene Prägungen der <a href="Indische_Rupie" title="Indische Rupie">indischen Zwei-Rupien-Münze</a> (ohne Bild) sind elfeckig.</li></ul>

<th>US-amerikanische Ein-Dollar-Münze

</th>

<th>Tschechische Zwei-Kronen-Münze

</th></tr>

<tr>

<td><div class="thumb centered vl-mehrere-bilder" style="width:322px;"><div class="thumbinner"><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:154px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div><div class="thumbcaption">Vorderseite</div></div><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:154px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div><div class="thumbcaption">Rückseite</div></div><div style="clear:both;"></div>

</div></div>

</td>

<td><div class="thumb centered vl-mehrere-bilder" style="width:314px;"><div class="thumbinner"><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:150px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div><div class="thumbcaption">Vorderseite</div></div><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:150px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"></span></div><div class="thumbcaption">Rückseite</div></div><div style="clear:both;"></div>

</div></div>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>H. Maser: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN373456743?tify={%22pages%22:%5B462,463%5D,%22panX%22:1.76,%22panY%22:0.8,%22view%22:%22%22,%22zoom%22:0.259}"><i>Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365.</i></a>, in <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN373456743?tify={%22pages%22:%5B0,1%5D,%22panX%22:3.021,%22panY%22:0.834,%22view%22:%22%22,%22zoom%22:0.236}"><i>Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik</i></a>, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Regular_11-gons?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Elfecke</a></span></b> – Sammlung von Bildern</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Planimetrie/_Polygonkonstruktionen/_Elfeck" class="extiw external" title="b:Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Elfeck">Wikibooks: Reguläres Elfeck, Näherungskonstruktion</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Elfeck" class="extiw external" title="wikt:Elfeck">Wiktionary: Elfeck</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematische-basteleien.de/elfeck.htm">Weitere mathematische Details zum Elfeck</a></li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Hendecagon.html"><i>Hendecagon</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Wilhelm_Pape" title="Wilhelm Pape">Wilhelm Pape</a>, Max Sengebusch (Bearb.): <cite style="font-style:italic">Handwörterbuch der griechischen Sprache</cite>. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zeno.org/Pape-1880/A/%E1%BC%94%CE%BD-%CE%B4%CE%B5%CE%BA%CE%B1">zeno.org</a> [abgerufen am 2. Juli 2024]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elfeck&rft.au=Wilhelm+Pape%2C+Max+Sengebusch+%28Bearb.%29&rft.btitle=Handw%C3%B6rterbuch+der+griechischen+Sprache&rft.date=1914&rft.edition=3.+Auflage%2C+6.+Abdruck&rft.genre=book&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+%26+Sohn" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Johannes Tropfke: <cite style="font-style:italic">Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung</cite>. 2. Auflage. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>5</span>. Walter De Gruyter, 1923, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>14</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elfeck&rft.au=Johannes+Tropfke&rft.btitle=Geschichte+der+Elementar-Mathematik+in+systematischer+Darstellung&rft.date=1923&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.pages=14&rft.pub=Walter+De+Gruyter&rft.volume=Band+5" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Thomas L. Heath: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">A Manual of Greek Mathematics</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Dover Books on Mathematics Series</cite>). Courier Dover Publications, 2003, ISBN 978-0-486-43231-1, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>426</span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elfeck&rft.au=Thomas+L.+Heath&rft.btitle=A+Manual+of+Greek+Mathematics&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=9780486432311&rft.pages=426&rft.pub=Courier+Dover+Publications&rft.series=Dover+Books+on+Mathematics+Series" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Henn-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Henn_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Hans-Wolfgang Henn: <i>Elementare Geometrie und Algebra</i>. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 <i>Die Quadratur des Kreises</i> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=2caZW8KRMtAC&pg=PA47#v=onepage">Auszug (Google)</a>), abgerufen am 29. Oktober 2017</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Horst Hischer: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/1994-MathSchule-MU_Gesch/1994-Math-Gesch-Teil2.pdf#5"><i>Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme.</i></a> <span style="white-space:nowrap;">S. ab 279</span>,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 29. Oktober 2017</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AElfeck&rft.title=Mathematik+in+der+Schule+32+%281994%29+5%2C+Geschichte+der+Mathematik+als+didaktischer+Aspekt+%282%29.+L%C3%B6sung+klassischer+Probleme&rft.description=Mathematik+in+der+Schule+32+%281994%29+5%2C+Geschichte+der+Mathematik+als+didaktischer+Aspekt+%282%29.+L%C3%B6sung+klassischer+Probleme&rft.identifier=http%3A%2F%2Fhorst.hischer.de%2Fpublikationen%2Fzeitschr-beitraege%2F1994-MathSchule-MU_Gesch%2F1994-Math-Gesch-Teil2.pdf%235&rft.creator=Horst+Hischer"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Albrecht Dürer: <cite style="font-style:italic">Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen</cite>. Nürnberg 1525 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/2660736?zoom=1&lat=2706.73188&lon=2469.80875&layers=B">ETH-Bibliothek, Konstruktion eines regelmäßigen Elf- und Dreizehnecks, S. 63, Fig 19</a> [abgerufen am 4. Oktober 2016]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elfeck&rft.au=Albrecht+D%C3%BCrer&rft.btitle=Underweysung+der+Messung%2C+mit+dem+Zirckel+und+Richtscheyt%2C+in+Linien%2C+Ebenen+unnd+gantzen+corporen&rft.date=1525&rft.genre=book&rft.place=N%C3%BCrnberg" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">T. Drummond, (1800) <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=gR5kAAAAcAAJ&pg=PA15&dq=Endecagon&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjVp8vi6d7LAhVmOJoKHcSJBl04ChDoAQg2MAM#v=onepage&q=Endecagon&f=false">The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, in Taking Heights and Distances ..., Konstruktionsbeschreibung Seite 15–16</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=gR5kAAAAcAAJ&pg=PA69&dq=Endecagon&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjVp8vi6d7LAhVmOJoKHcSJBl04ChDoAQg2MAM#v=onepage&q=Page%2069&f=false">Fig. 40: blättere ab Seite 69 ... bis Seite 76</a> Part I. Second Edition, abgerufen am 26. März 2016</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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